1。MN=BM+CN。
延长AC到E，使CE=BM，连接DE（实际上就是将三角形BDM旋转到CDE）
在三角形BDM和CDE中，可证得
角MBD=DCE=90度，
且BM=CE，BD=CD
所以三角形BDM与CDE全等
所以DM=DE
在三角形DMN和DEN中
可证得角MDN=EDN=60度
且DM=DE，DN=DN
所以三角形DMN与DEN全等
所以MN=NE=EC+CN=BM+CN。
2。MN=CN-BM
在AC上找点E，使CE=BM，连接DE
同上证得三角形BDM与CDE全等，三角形DMN与DEN全等
所以MN=NE=CN-CE=CN-BM。
方法一，在AB上截取AF＝AD，连接EF，证明右边两个△全等，进而FB＝CB
方法二，在BA上截取BF＝BC，连接EF，证明左边两个△全等，进而FA＝DA
方法三，延长AD至F，使得FA＝BA，连接EF，证明两个蝴蝶三角形全等，进而证明FD＝BC
方法三，延长BC至F，使得FB＝AB，连接EF，证明两个蝴蝶三角形全等，进而证明FC＝AD
证明：在BP的延长线上取点D，使PC＝PD，连接CD
∵等边△ABC
∴AC＝BC，∠BAC＝∠ACB＝60
∵∠BAC+∠BPC+∠ABP+∠ACP＝360, ∠ABP+∠ACP＝180
∴∠APC＝360-180-60＝120
∴∠CPD＝180-∠BPC＝60
∵PC＝PD
∴等边△PCD
∴PC＝DC，∠PCD＝60
∴∠ACB＝∠PCD
∵∠ACP＝∠ACB+∠BCP，∠BCD＝∠PCD+∠BCP
∴∠ACP＝∠BCD
∴△ACP≌△BCD （SAS）
∴BD＝PA
∵PB+PD＝BD
∴PB+PC＝BD
∴PB+PC＝PA
例题我这不太多只有一道，还有应该是截长补短
如图AB=AC=BC,CG⊥AB，D为直线BC上一点，DQ，DP分别垂直于AB，AC。求CG,DQ?,DP的大小关系。
你所写的证明条件先不要，
延长CB，在CB的延长线上取点E，连接AE，使得AE =AC(即，此时，三角形AEC是等腰三角形）
因为 三角形AEC是等腰三角形
所以 ∠E=∠C
又因为 ∠ABC=2∠C
∠E+∠EAB=∠ABC
所以 ∠E=∠EAB
所以 AB=EB
因为 AD平分∠BAC
所以 ∠BAD=∠CAD
因为 ∠EDA=∠CAD+∠C
∠EAD=∠BAD+∠EAB
所以 ∠EDA=∠EAD
所以 AE=ED
又因为 AE=AC
ED=BD+EB
AB=BE
即ED=BD+AB
又因为 AE=ED
AE=AC
所以 AC=BD+AB
即 AB+BD=AC
俊狼猎英团队为您解答：
延长AB到E，使BE=BD，连接DE，则∠E=∠BDE，
∵∠ABC=∠E+∠BDE=2∠E，∠ABC=2∠C，
∴∠C=∠E，
在ΔADC与ΔADE中，
AD=AD，∠C=∠E，∠DAC=∠DAB(角平分线定义)
∴ΔADC≌ΔADE，∴AC=AE=AB+BE，
∴AC=AB+BD。?
旋转法：如图将三角形BCF延B点按逆时针方向旋转90°得到新的三角形ABF′，目的证明BE=EF′。
因为角F′=角BFC
角ABF′+角ABE=角CBF+角ABE=角EBF+角ABE=角ABF,
而角ABF=角BFC
所以角F′=角ABF′+角ABE=角EBF′
所以三角形EBF′为等腰三角形，BE=EF′
所以BE=EF′=AE+AF′=CF+AE
